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Ecuaciones SimultƔneas
Conjunto de dos o mĆ”s ecuaciones que contienen dos o mĆ”s cantidades desconocidas. En conjunto, estas ecuaciones especifican condiciones que estas cantidades desconocidas deben satisfacer al mismo tiempo. El Modelo de ecuaciones simultĆ”neas son una forma de modelo estadĆstico que viene dado por un conjunto de ecuaciones lineales. A menudo se utilizan en econometrĆa para encontrar valores de los parĆ”metros que se encuentran correlacionados y que suceden paralelamente, tal como en las estimaciones de la oferta y la demanda.
MĆ©todos de soluciĆ³n
TambiĆ©n se pueden resolver por un mĆ©todo grĆ”fico, esto se puede hacer porque cada ecuaciĆ³n representa a una lĆnea en los ejes de coordenadas, esta lĆnea puede ser una recta o una curva, y el lugar en donde se cruzan las dos lĆneas es el punto que representa la soluciĆ³n de las ecuaciones, porque los valores de ese punto (en donde se cruzan las lĆneas) son los valores que resuelven las dos ecuaciones.
El proceso de resoluciĆ³n de un sistema de ecuaciones mediante el mĆ©todo grĆ”fico se resume en las siguientes fases:
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Se despeja la incĆ³gnita y en ambas ecuaciones.
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Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
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Se representan grƔficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
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En este Ćŗltimo paso hay tres posibilidades:
Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los Ćŗnicos valores de las incĆ³gnitas x e y. Sistema compatible determinado.
Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene soluciĆ³n. Sistema incompatible.
MĆ©todo de SustituciĆ³n
1. Se despeja una incĆ³gnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresiĆ³n de esta incĆ³gnita en la otra ecuaciĆ³n, obteniendo un ecuaciĆ³n con una sola incĆ³gnita.
3. Se resuelve la ecuaciĆ³n.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuaciĆ³n en la que aparecĆa la incĆ³gnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la soluciĆ³n del sistema.
MĆ©todo por IgualaciĆ³n
MƩtodo GrƔfico
1. Se despeja la misma incĆ³gnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuaciĆ³n con una incĆ³gnita.
3. Se resuelve la ecuaciĆ³n.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecĆa despejada la otra incĆ³gnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la soluciĆ³n del sistema.
MĆ©todo por ReducciĆ³n
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicĆ”ndolas por los nĆŗmeros que convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incĆ³gnitas.
3. Se resuelve la ecuaciĆ³n resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la soluciĆ³n del sistema.
MĆ©todo por Determinantes
PROCEDIMIENTO
SoluciĆ³n de un sistema de ecuaciones mediante el mĆ©todo de determinantes de segundo orden:
Para resolver el sistema (Imagen 1) donde x y y son las incĆ³gnitas y a, b, c, d, r, s, son nĆŗmeros reales.
1. Consideramos el arreglo (imagen 2) que consta de los coeficientes de las variables.
2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los nĆŗmeros que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los nĆŗmeros que estĆ”n en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El nĆŗmero obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fĆ”cil de recordar si usamos sĆmbolos. (imagen 3)
Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos seƱalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos. (imƔgenes 4 y 5)
3. Con la notaciĆ³n observamos que la soluciĆ³n del sistema es (imagen 6)
Conviene observar, para recordar la soluciĆ³n, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los tĆ©rminos independientes.
Imagen 1
Imagen 5
Imagen 4
Imagen 6
Imagen 3
Imagen 2
Ahora que tienes los conocimientos necesarios, realiza las actividades de la tercer parcialidad, en el orden que prefieras.