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Ecuaciones Simultáneas

Conjunto de dos o más ecuaciones que contienen dos o más cantidades desconocidas. En conjunto, estas ecuaciones especifican condiciones que estas cantidades desconocidas deben satisfacer al mismo tiempo. El Modelo de ecuaciones simultáneas son una forma de modelo estadístico que viene dado por un conjunto de ecuaciones lineales. A menudo se utilizan en econometría para encontrar valores de los parámetros que se encuentran correlacionados y que suceden paralelamente, tal como en las estimaciones de la oferta y la demanda.

Métodos de solución

También se pueden resolver por un método gráfico, esto se puede hacer porque cada ecuación representa a una línea en los ejes de coordenadas, esta línea puede ser una recta o una curva, y el lugar en donde se cruzan las dos líneas es el punto que representa la solución de las ecuaciones, porque los valores de ese punto (en donde se cruzan las líneas) son los valores que resuelven las dos ecuaciones.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

  • Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.

  • Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

  • Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

  • En este último paso hay tres posibilidades:

    Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

    Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

    Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Método de Sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método por Igualación

Método Gráfico

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método por Reducción

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método por Determinantes

PROCEDIMIENTO

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden:

 

Para resolver el sistema (Imagen 1) donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d, r, s, son números reales.

1. Consideramos el arreglo (imagen 2) que consta de los coeficientes de las variables.

2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos. (imagen 3)

 

Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos. (imágenes 4 y 5)

 

3. Con la notación observamos que la solución del sistema es (imagen 6)

 

Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes.

Imagen 1

Imagen 5

Imagen 4

Imagen 6

Imagen 3

Imagen 2

Ahora que tienes los conocimientos necesarios, realiza las actividades de la tercer parcialidad, en el orden que prefieras.

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